Calculadora SVD

Categoría: Álgebra Lineal
- 10 de julio de 2025
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Calcule la Descomposición en Valores Singulares (SVD) de una matriz. SVD descompone una matriz en tres componentes: U, Σ y V*. Esta descomposición tiene numerosas aplicaciones en estadística, procesamiento de señales, compresión de imágenes y más.

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Acerca de la Descomposición en Valores Singulares

La Descomposición en Valores Singulares (SVD) es una técnica de factorización que descompone una matriz A en tres matrices: U, Σ y V*. Tiene amplias aplicaciones en ciencia de datos, procesamiento de señales y álgebra lineal.

Definición Matemática

Para una matriz A de m×n, la SVD es:

A = UΣV*

donde:

  • U es una matriz ortogonal de m×m (U*U = I)
  • Σ es una matriz diagonal de m×n con valores singulares no negativos
  • V* es la transpuesta conjugada de una matriz ortogonal de n×n V (V*V = I)
Aplicaciones de SVD
  • Reducción de Dimensionalidad: Análisis de Componentes Principales (PCA)
  • Compresión de Imágenes: Reducción de almacenamiento manteniendo la calidad de la imagen
  • Análisis de Datos: Reducción de ruido y extracción de características
  • Sistemas de Recomendación: Filtrado colaborativo para recomendaciones
  • Cálculo de Pseudo-Inversa: Encontrar soluciones a sistemas mal condicionados
  • Procesamiento de Señales: Filtrado y eliminación de ruido
Propiedades de SVD
  • Los valores singulares son únicos y están ordenados de mayor a menor
  • El número de valores singulares no nulos es igual al rango de la matriz
  • El número de condición es la razón entre el valor singular más grande y el más pequeño
  • La SVD se puede usar para calcular la pseudo-inversa a través de A⁺ = VΣ⁺U*
  • La SVD es numéricamente estable para el cálculo

Fórmula de Descomposición en Valores Singulares:

A = UΣV*

Donde:

  • U = matriz de vectores singulares izquierdos
  • Σ = matriz diagonal de valores singulares
  • V* = transpuesta de la matriz de vectores singulares derechos

¿Qué es la Calculadora SVD?

La Calculadora de Descomposición en Valores Singulares (SVD) es una herramienta basada en la web que descompone cualquier matriz en tres componentes fundamentales: U, Σ (Sigma) y V*. Este proceso se utiliza ampliamente en álgebra lineal para aplicaciones como compresión de datos, filtrado de señales y resolución de sistemas de ecuaciones.

Con la Calculadora SVD, puedes analizar rápidamente la estructura de una matriz, comprender sus propiedades dimensionales y calcular valores clave como el número de condición, rango y pseudoinversa.

¿Por qué usar esta calculadora?

Esta herramienta te ayuda a:

  • Descomponer una matriz en U, Σ y V* para un análisis más profundo
  • Entender el comportamiento de tu matriz a través de sus valores singulares
  • Explorar propiedades como el rango de la matriz, número de condición y norma de Frobenius
  • Verificar la precisión de la descomposición
  • Calcular la pseudoinversa de Moore-Penrose al instante

Si trabajas con datos de imágenes, estadísticas o resolución de sistemas lineales, esta calculadora te proporciona el desglose que necesitas. Complementa otras herramientas como la Calculadora de Descomposición LU, Calculadora de Pseudoinversa y Calculadora de Inversa de Matrices al centrarse específicamente en el análisis de valores singulares.

Cómo usar la Calculadora SVD

Sigue estos simples pasos:

  1. Selecciona el número de filas y columnas para tu matriz.
  2. Haz clic en “Crear Matriz” para generar campos de entrada.
  3. Ingresa los valores de tu matriz en los campos.
  4. Elige opciones de visualización como precisión decimal y si deseas mostrar explicaciones paso a paso.
  5. Haz clic en “Calcular SVD” para procesar la matriz.
  6. Revisa las matrices resultantes U, Σ y V*, así como los valores derivados como la pseudoinversa y el número de condición.

También puedes cargar una matriz de ejemplo usando el botón “Cargar Ejemplo” para ver cómo funciona al instante.

Beneficios de usar SVD

SVD se utiliza en muchos campos y tiene beneficios prácticos:

  • Compresión de Datos: Reduce el tamaño de los datos sin perder características esenciales
  • Reducción de Ruido: Elimina componentes menores en señales o conjuntos de datos
  • Aprendizaje Automático: Mejora el rendimiento del algoritmo mediante la reducción de dimensionalidad
  • Soluciones de Matrices: Calcula la pseudoinversa cuando no existe una inversa normal
  • Procesamiento de Imágenes: Comprime y reconstruye imágenes de manera eficiente

Esta herramienta es especialmente útil cuando se combina con herramientas de matrices como la Calculadora de Factorización QR, Calculadora de Eliminación de Gauss-Jordan y Calculadora de Diagonalización de Matrices.

Preguntas Frecuentes (FAQ)

  • ¿Qué tamaño de matriz puedo ingresar?
    Puedes ingresar matrices desde 1×1 hasta 10×10.
  • ¿Qué pasa si mi matriz tiene valores muy pequeños?
    La calculadora resalta los valores cercanos a cero para ayudarte a enfocarte en resultados significativos.
  • ¿Puedo ver cómo se calcula el SVD?
    ¡Sí! Activa la opción “Mostrar explicación” para ver un desglose paso a paso de la descomposición.
  • ¿Es útil esta herramienta para aprender?
    Definitivamente. El desglose visual y los pasos de cálculo la convierten en una gran ayuda de aprendizaje para estudiantes y educadores.
  • ¿En qué se diferencia esto de otras herramientas de matrices?
    Mientras que la Calculadora de Inversa de Matrices y la factorización de matrices LU se centran en soluciones directas a sistemas lineales, SVD ofrece más información sobre la estructura y estabilidad de la matriz.

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