Calculadora de la Regla de Simpson

Categoría: Cálculo
- 01 de agosto de 2025
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Calcule integrales definidas numéricamente utilizando la Regla de Simpson. Esta calculadora aproxima la integral de una función sobre un intervalo especificado ajustando arcos parabólicos a través de puntos equidistantes.

Parámetros de Integración

Use x como la variable. Funciones matemáticas: sin, cos, tan, log, sqrt, etc.
Debe ser un número par para la Regla de Simpson

Opciones de Visualización

Entendiendo la Regla de Simpson

La Regla de Simpson es un método de aproximación numérica para integrales definidas. Aproxima la función utilizando polinomios cuadráticos, lo que proporciona una mejor precisión que métodos más simples como la Regla del Trapecio.

La Fórmula
\begin{align} \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + \ldots + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right] \end{align}

Donde:

  • h = (b - a) / n es el ancho de cada subintervalo
  • n es el número de subintervalos (debe ser par)
  • xi = a + i·h son los puntos espaciados uniformemente
Término de Error

La Regla de Simpson tiene un término de error de O(h5), lo que significa que el error es proporcional a h4. Específicamente:

\text{Error} \approx -\frac{b-a}{180}h^4 f^{(4)}(\xi)

Donde f(4)(ξ) es la cuarta derivada de f en algún punto ξ entre a y b.

Comparación con Otros Métodos
  • Regla del Punto Medio: El error es O(h3), menos preciso que la Regla de Simpson
  • Regla del Trapecio: El error es O(h3), menos preciso que la Regla de Simpson
  • Regla de Simpson 3/8: Precisión similar a la Regla de Simpson
  • Cuadratura Gaussiana: Más precisa para ciertas clases de funciones

Descargo de responsabilidad: Esta calculadora proporciona aproximaciones numéricas que pueden contener errores, especialmente para funciones con singularidades u oscilaciones rápidas. Siempre verifique resultados importantes con métodos alternativos o soluciones analíticas cuando sea posible.

¿Qué es la Calculadora de la Regla de Simpson?

La Calculadora de la Regla de Simpson es una herramienta interactiva que estima el valor de una integral definida. En lugar de resolver integrales complejas a mano, esta calculadora aplica un método numérico confiable para aproximar el área bajo una curva, conocido como la Regla de Simpson. Es especialmente útil para funciones que son difíciles o imposibles de integrar analíticamente.

\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + \dots + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right] \]

Este método divide el intervalo en un número par de partes y ajusta parábolas a través de puntos en el gráfico de la función. Ofrece una mejor precisión que la regla del trapecio o la regla del punto medio.

¿Por qué usarlo?

Ya seas estudiante, profesor, ingeniero o un aprendiz curioso, la Calculadora de la Regla de Simpson te ayuda a:

  • Estimar integrales definidas rápidamente
  • Visualizar cómo se aproxima el área bajo la curva
  • Entender el impacto de cambiar el número de intervalos
  • Realizar análisis de errores y ver el comportamiento de convergencia

También complementa otras herramientas como la Calculadora de Integrales para resolver integrales definidas o indefinidas y la Calculadora de Antiderivadas para encontrar antiderivadas. Si trabajas con funciones multivariables, consulta la Calculadora de Derivadas Parciales para calcular parciales o analizar la diferenciación multivariable.

Cómo usar la calculadora

Sigue estos simples pasos para obtener una aproximación precisa de tu integral definida:

  1. Ingresa la función que deseas integrar en el cuadro de entrada (usa x como variable).
  2. Establece los límites inferior y superior para el intervalo de integración.
  3. Elige el número de intervalos (debe ser un número par).
  4. Opcionalmente, habilita la visualización de funciones y gráficos de aproximación.
  5. Haz clic en "Calcular Integral" para ver el resultado, el gráfico y el desglose.

Puedes reiniciar la calculadora en cualquier momento usando el botón "Reiniciar".

Casos de uso comunes

Utiliza la Calculadora de la Regla de Simpson para:

  • Aproximar el área bajo curvas cuando la integral exacta es difícil de calcular
  • Comparar resultados numéricos con soluciones exactas de un solucionador de integrales
  • Analizar la convergencia aumentando los intervalos
  • Obtener información sobre el comportamiento del error a través de diferentes conteos de intervalos

Es especialmente útil para verificar trabajos o complementar resultados de herramientas como la Calculadora de Segunda Derivada o la Calculadora de Derivada Direccional en análisis multivariable.

Preguntas frecuentes

Q: ¿Qué tipo de funciones puedo ingresar?
Cualquier función que use x como variable. Las expresiones comunes incluyen polinomios, funciones trigonométricas, exponenciales y logaritmos. Por ejemplo: x^2 + sin(x).

Q: ¿Por qué el número de intervalos debe ser par?
La Regla de Simpson se basa en ajustar parábolas a través de pares de intervalos. Un número impar de intervalos rompería este emparejamiento.

Q: ¿Qué tan precisa es este método?
La Regla de Simpson es altamente precisa para funciones suaves y mejora con más intervalos. La calculadora también muestra información sobre el error y la convergencia.

Q: ¿Qué pasa si mi función está indefinida en algún punto?
Evita funciones con singularidades o discontinuidades dentro del intervalo. Estas pueden causar resultados inexactos o errores de evaluación.

Reflexiones finales

Esta calculadora es un compañero útil para estudiar cálculo y resolver problemas del mundo real que involucran integración. Es parte de un conjunto más amplio de herramientas matemáticas como la Calculadora de Derivadas, Calculadora de Derivadas Inversas y Calculadora de Límites que simplifican el aprendizaje y la aplicación de conceptos matemáticos avanzados.