Calculadora de Series de Taylor

Categoría: Cálculo

- 14 de mayo de 2025

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Calcula y visualiza las expansiones de series de Taylor de funciones matemáticas. Una serie de Taylor aproxima una función utilizando una suma de términos derivados de las derivadas de la función en un punto específico.

Función de Entrada

Función f(x):

Punto de Expansión (a):

Número de Términos:

Rango de Visualización (Mín):

Rango de Visualización (Máx):

Opciones de Visualización

Decimales:

Mostrar función exacta

Mostrar error de aproximación

Mostrar pasos de cálculo

Expansión de la Serie de Taylor

Serie de Taylor

f(x) =

centrada en a = 0

Función Original

f(x) =

Término de Resto

Rₙ(x) =

Representación Visual

Desglose Término por Término

n	f⁽ⁿ⁾(a)	Término	Suma Acumulativa

Método de Cálculo

Fórmula de la Serie de Taylor

La serie de Taylor de una función f(x) centrada en x = a es:

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a)(x-a)²/2! + ... + f⁽ⁿ⁾(a)(x-a)ⁿ/n! + ...

O usando notación de suma:

f(x) = ∑_n=0^∞ f⁽ⁿ⁾(a)(x-a)ⁿ/n!

Cuando a = 0, esto también se llama serie de Maclaurin.

Acerca de las Series de Taylor

Una serie de Taylor es una representación de una función como una suma infinita de términos que se calculan a partir de los valores de las derivadas de la función en un solo punto.

Conceptos Clave

Punto de Expansión: El punto 'a' alrededor del cual se centra la serie
Orden de Aproximación: El número de términos utilizados en la serie
Convergencia: Qué tan bien la serie aproxima la función a medida que se añaden más términos
Radio de Convergencia: El rango de valores de x para los cuales la serie converge

Series de Taylor Comunes

e^x: 1 + x + x²/2! + x³/3! + ... (en a = 0)
sin(x): x - x³/3! + x⁵/5! - ... (en a = 0)
cos(x): 1 - x²/2! + x⁴/4! - ... (en a = 0)
ln(1+x): x - x²/2 + x³/3 - ... (en a = 0, para |x| < 1)

Aplicaciones

Aproximación de Funciones: Calcular valores de funciones complejas
Análisis Numérico: Resolver ecuaciones diferenciales
Física: Aproximar soluciones a problemas físicos
Ciencias de la Computación: Algoritmos para evaluación de funciones
Ingeniería: Procesamiento de señales y sistemas de control

¿Qué es una serie de Taylor?

Una serie de Taylor es una representación de una función como una suma infinita de términos que se calculan a partir de los valores de las derivadas de la función en un solo punto. Nos permite aproximar funciones complejas utilizando polinomios, que pueden ser más fáciles de calcular y analizar.

La fórmula general para la serie de Taylor de una función \( f(x) \) alrededor de un punto \( a \) es:

\[ f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + \dots \]

Esta serie es particularmente útil en cálculo y análisis matemático para aproximar funciones, resolver ecuaciones diferenciales y modelar sistemas del mundo real.

Características de la Calculadora de Series de Taylor

Permite la entrada de cualquier función matemática \( f(x) \) para su expansión.
Incluye un menú desplegable con ejemplos para rellenar automáticamente los valores de función, centro y orden.
Calcula la serie de Taylor hasta un orden especificado \( n \) alrededor de un punto central dado \( a \).
Muestra la expansión de Taylor y explicaciones paso a paso utilizando MathJax para mayor claridad.

Cómo usar la Calculadora de Series de Taylor

Ingresa la función \( f(x) \) en el campo de entrada. Ejemplos incluyen \( \sin(x) \), \( e^x \) o \( \ln(x+1) \).
Elige un punto central \( a \), que es el punto alrededor del cual se expandirá la serie de Taylor.
Especifica el orden \( n \), que determina el grado de la aproximación polinómica.
Haz clic en el botón "Calcular" para computar la serie de Taylor.
Visualiza los resultados, incluyendo la expansión de la serie y los pasos de cálculo detallados.
Si es necesario, selecciona un ejemplo del menú desplegable para rellenar automáticamente los campos.
Haz clic en el botón "Limpiar" para restablecer todos los campos y comenzar un nuevo cálculo.

Ejemplo de Uso

Entrada de Ejemplo:

Función: \( \sin(x) \)
Centro: \( a = 0 \)
Orden: \( n = 5 \)

Salida de Ejemplo:

La expansión de la serie de Taylor de \( \sin(x) \) alrededor de \( a = 0 \) hasta \( n = 5 \):

\[ \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \dots \]

Preguntas Frecuentes

¿Cuál es la diferencia entre una serie de Taylor y una serie de Maclaurin?
Una serie de Taylor está centrada alrededor de cualquier punto \( a \), mientras que una serie de Maclaurin es un caso especial de la serie de Taylor centrada en \( a = 0 \).
¿Puede esta calculadora manejar derivadas de orden superior?
Sí, la calculadora utiliza la biblioteca matemática para calcular derivadas de cualquier orden para la expansión de Taylor.
¿Qué sucede si ingreso una función inválida?
Si la función es inválida, la calculadora mostrará un mensaje de error. Asegúrate de que tu entrada siga la sintaxis matemática estándar.
¿Qué tan precisa es la aproximación de la serie de Taylor?
La precisión depende del orden \( n \). Valores más altos de \( n \) proporcionan aproximaciones más precisas, especialmente cerca del punto central \( a \).
¿Cuáles son algunas aplicaciones comunes de las series de Taylor?
Las series de Taylor se utilizan en cálculo para aproximar funciones, resolver ecuaciones diferenciales y realizar análisis numérico.

Beneficios de Usar la Calculadora de Series de Taylor

Simplifica cálculos matemáticos complejos al automatizar el proceso de expansión.
Proporciona explicaciones claras y paso a paso para fines educativos.
Ayuda a los usuarios a entender cómo funcionan las series de Taylor y sus aplicaciones en cálculo.
Permite a los usuarios probar y visualizar conceptos matemáticos de manera interactiva.