Calculadora de Función Inversa

Categoría: Álgebra II

- 14 de mayo de 2025

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Esta calculadora encuentra la inversa de una función, muestra los pasos de solución y proporciona una visualización tanto de la función original como de su inversa.

Ingresar Función

Función f(x):

Variable:

Dominio (Opcional):

Tipo de Función:

Opciones de Visualización

mínimo del eje x:

máximo del eje x:

mínimo del eje y:

máximo del eje y:

Mostrar cuadrícula

Mostrar línea y = x

Entendiendo las Funciones Inversas

Una función inversa "deshace" lo que hace la función original. Si una función f mapea a a b, entonces su inversa f^-1 mapea b de vuelta a a.

Cómo Encontrar una Función Inversa

Reemplazar f(x) con y
Intercambiar las variables x e y
Resolver para y
Reemplazar y con f^-1(x)

Propiedades de las Funciones Inversas

El dominio de f^-1 es el rango de f
El rango de f^-1 es el dominio de f
f(f^-1(x)) = x para todos los x en el dominio de f^-1
f^-1(f(x)) = x para todos los x en el dominio de f
Los gráficos de f y f^-1 son simétricos con respecto a la línea y = x

Requisitos para que una Función Tenga una Inversa

Una función debe ser uno a uno (inyectiva) para tener una inversa. Esto significa que cada salida corresponde exactamente a una entrada. Gráficamente, una función pasa la prueba de la línea horizontal si es uno a uno.

Entendiendo la Calculadora de Funciones Inversas

La Calculadora de Funciones Inversas es una herramienta útil que calcula la inversa de una función matemática \(y = f(x)\). Una función inversa "revierte" la función original, permitiéndote expresar \(x\) en términos de \(y\). Esta herramienta es particularmente útil para resolver funciones algebraicas y racionales.

¿Qué Hace la Calculadora?

Propósito: Determina la inversa de una función \(y = f(x)\), para que puedas expresar la función como \(x = g(y)\).
Visualización: La herramienta grafica tanto la función original como su inversa, junto con la línea de reflexión \(y = x\), facilitando la comprensión de la relación entre ellas.
Explicación Paso a Paso: Proporciona pasos detallados para mostrar cómo se deriva la inversa.

Cómo Usar la Calculadora

Paso 1: Ingresa la Función

En el cuadro de entrada etiquetado "Ingresa f(x):", escribe tu función. Por ejemplo:
- \(f(x) = \frac{x+7}{3x+5}\)
- \(f(x) = \frac{x+3}{2x-4}\)
Asegúrate de que tu función esté formateada correctamente:
- Usa paréntesis para indicar agrupaciones, por ejemplo, \((x+7)/(3x+5)\).
- Evita usar símbolos inválidos o expresiones ambiguas.

Paso 2: Haz Clic en "Calcular"

Presiona el botón Calcular para encontrar la inversa.
La calculadora:
- Cambia \(x\) y \(y\) en la función original \(y = f(x)\).
- Resuelve la ecuación resultante para \(y\).
- Muestra la función inversa \(y = g(x)\) en notación matemática.

Paso 3: Revisa los Resultados

La función inversa se mostrará como una ecuación formateada.
Una solución paso a paso mostrará el proceso de transformación.
El gráfico trazará:
- La función original \(y = f(x)\).
- Su inversa \(y = g(x)\).
- La línea de reflexión \(y = x\).

Paso 4: Limpiar la Entrada (Opcional)

Para calcular una nueva inversa, haz clic en el botón Limpiar.
Esto restablece los campos de entrada y los resultados mostrados.

Características Clave de la Calculadora de Funciones Inversas

Funciona con Funciones Racionales: Ideal para funciones como \(\frac{x+7}{3x+5}\) o \(\frac{x+3}{2x-4}\).
Manejo de Errores Preciso: Proporciona retroalimentación si la función es inválida o no invertible.
Visualización Gráfica: Visualiza la función original, su inversa y su reflexión.
Solución Educativa Paso a Paso: Te guía a través del proceso de inversión.

Ejemplo: Encontrando la Inversa de \(f(x) = \frac{x+7}{3x+5}\)

Entrada

Ingresa la función: \(f(x) = \frac{x+7}{3x+5}\).

Proceso

Comienza con \(y = \frac{x+7}{3x+5}\).
Cambia \(x\) y \(y\): \(x = \frac{y+7}{3y+5}\).
Resuelve para \(y\):
- Multiplica ambos lados por \((3y+5)\): \(x(3y+5) = y+7\).
- Expande: \(3xy + 5x = y + 7\).
- Reorganiza los términos: \(3xy - y = 7 - 5x\).
- Factoriza \(y\): \(y(3x - 1) = 7 - 5x\).
- Resuelve para \(y\): \(y = \frac{7 - 5x}{3x - 1}\).

Salida

La función inversa es \(y = \frac{7 - 5x}{3x - 1}\).

Preguntas Frecuentes (FAQ)

¿Qué es una función inversa?

Una función inversa "revierte" la relación entre \(x\) y \(y\) en la función original \(y = f(x)\). La inversa satisface:

\(f(g(y)) = y\)
\(g(f(x)) = x\)

¿Cómo encuentra la calculadora la inversa?

La calculadora cambia \(x\) y \(y\) en la ecuación \(y = f(x)\), luego resuelve la ecuación resultante para \(y\).

¿Por qué una función podría no tener una inversa?

Una función debe ser uno a uno para tener una inversa. Si dos entradas diferentes comparten la misma salida, la función no puede ser invertida. Por ejemplo, las funciones cuadráticas como \(f(x) = x^2\) no son invertibles a menos que se restrinjan a un dominio específico.

¿Puedo graficar las funciones originales e inversas?

¡Sí! La calculadora muestra:

El gráfico de \(y = f(x)\).
El gráfico de \(y = g(x)\) (la función inversa).
La línea de reflexión \(y = x\).

¿Qué tipos de funciones son compatibles?

Esta calculadora funciona mejor con funciones algebraicas y racionales, tales como:

\(f(x) = \frac{x+7}{3x+5}\)
\(f(x) = \frac{x-4}{2x+1}\)

¿Qué debo hacer si la calculadora muestra un error?

Verifica el formato de tu entrada:
- Asegúrate de que la función esté escrita correctamente, por ejemplo, \((x+7)/(3x+5)\).
Verifica que la función sea invertible.

¿Quién Debe Usar Esta Calculadora?

Estudiantes: Aprende a calcular inversas para problemas de álgebra y cálculo.
Profesores: Úsala como una herramienta de enseñanza para demostrar funciones inversas.
Profesionales: Resuelve problemas relacionados con la inversa en matemáticas aplicadas e ingeniería.

¡La Calculadora de Funciones Inversas simplifica un concepto desafiante, facilitando encontrar, entender y visualizar la inversa de una función!