Calculadora de Divergencia

Calculadora de Divergencia: Explicación y Guía de Uso

La Calculadora de Divergencia es una herramienta interactiva diseñada para calcular la divergencia de un campo vectorial tridimensional. Proporciona una manera intuitiva de calcular y visualizar la divergencia de un campo vectorial ( \mathbf{F}(x, y, z) ), ofreciendo tanto la representación simbólica de la divergencia como su evaluación en puntos específicos. Además, la herramienta genera una visualización gráfica del campo vectorial para ayudar a los usuarios a obtener una comprensión más profunda de su comportamiento.

¿Qué es la Divergencia?

La divergencia es una cantidad escalar que mide la tasa a la cual un campo vectorial se dispersa o converge en un punto dado. Matemáticamente, la divergencia de un campo vectorial ( \mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k} ) se da por:

[ \text{div} \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} ]

• Si la divergencia es positiva, el campo vectorial se está dispersando en ese punto.
• Si la divergencia es negativa, el campo vectorial está convergendo en ese punto.
• Si la divergencia es cero, se dice que el campo es solenoidal en ese punto.

Esta calculadora proporciona tanto la divergencia simbólica como una opción para evaluarla numéricamente en puntos específicos.

Características de la Calculadora de Divergencia

• Divergencia Simbólica: Calcula automáticamente las derivadas parciales de los componentes del campo vectorial y construye la ecuación de divergencia.
• Evaluación en Punto: Evalúa la divergencia numéricamente en un punto específico ( (x, y, z) ).
• Visualización Gráfica: Muestra una representación 3D del campo vectorial utilizando las capacidades de gráficos 3D interactivos de Plotly.
• Ejemplos en Desplegable: Carga rápidamente ejemplos predefinidos de campos vectoriales para explorar.
• Manejo de Errores: Asegura que las entradas inválidas o incompletas se manejen de manera adecuada.

Cómo Usar la Calculadora de Divergencia

Sigue estos simples pasos para usar la calculadora de manera efectiva:

1. Ingresa el Campo Vectorial:
2. Introduce los componentes ( P(x, y, z) ), ( Q(x, y, z) ) y ( R(x, y, z) ) del campo vectorial en las respectivas cajas de entrada.

3. Por ejemplo:

   • ( P(x, y, z) = \sin(xy) )
   • ( Q(x, y, z) = \cos(xy) )
   • ( R(x, y, z) = e^z )

4. Selecciona un Ejemplo:

5. Usa el menú desplegable para cargar ejemplos predefinidos de campos vectoriales.

6. Especifica un Punto de Evaluación (Opcional):

7. Si deseas evaluar la divergencia en un punto específico, ingresa los valores de ( x ), ( y ) y ( z ) en los campos correspondientes.

8. Haz clic en "Calcular":

9. La calculadora:

   • Calculará la divergencia simbólica.
   • Evaluará la divergencia en el punto especificado (si se proporciona).
   • Mostrará un desglose paso a paso del cálculo.
   • Generará una visualización 3D del campo vectorial.

10. Limpia las Entradas:

11. Usa el botón "Limpiar" para reiniciar la calculadora.

Ejemplo de Recorrido

Ejemplo de Campo Vectorial:

[ \mathbf{F}(x, y, z) = \sin(xy)\mathbf{i} + \cos(xy)\mathbf{j} + e^z\mathbf{k} ]

1. Ingresa los componentes:
2. ( P(x, y, z) = \sin(xy) )
3. ( Q(x, y, z) = \cos(xy) )

4. ( R(x, y, z) = e^z )

5. Haz clic en "Calcular". La calculadora:

6. Calculará las derivadas parciales:
   • ( \frac{\partial P}{\partial x} = y\cos(xy) )
   • ( \frac{\partial Q}{\partial y} = -x\sin(xy) )
   • ( \frac{\partial R}{\partial z} = e^z )
7. Las combinará para encontrar: [ \text{div} \mathbf{F} = y\cos(xy) - x\sin(xy) + e^z ]

8. Si se proporcionan puntos de evaluación ( (x=1, y=1, z=0) ), el resultado se evaluará como: [ \text{div} \mathbf{F}(1, 1, 0) = 1\cdot \cos(1) - 1\cdot \sin(1) + e^0 = \cos(1) - \sin(1) + 1 \approx 1.5403 ]

9. Visualiza el campo vectorial 3D generado en el gráfico.

Preguntas Frecuentes

1. ¿Qué formatos de entrada son compatibles para los componentes del campo vectorial?

La calculadora admite funciones en términos de ( x ), ( y ) y ( z ). Ejemplos incluyen: - Funciones polinómicas: ( x^2, y^2 + z ) - Funciones trigonométricas: ( \sin(xy), \cos(z) ) - Funciones exponenciales: ( e^z, x \cdot e^y )

2. ¿Qué sucede si no proporciono un punto de evaluación?

Si no se especifica un punto de evaluación, la calculadora solo mostrará la ecuación de divergencia simbólica.

3. ¿Puedo usar esta calculadora para campos vectoriales 2D?

Sí, simplemente deja el componente ( R(x, y, z) ) vacío o configúralo en cero.

4. ¿Cómo se genera la visualización del campo vectorial 3D?

La calculadora utiliza Plotly para crear un gráfico interactivo del campo vectorial en 3D. Cada flecha representa la dirección y magnitud del campo en un punto dado.

5. ¿Qué pasa si mi entrada tiene un error?

La calculadora verifica errores como componentes faltantes o expresiones inválidas. Un mensaje de error descriptivo te guiará para corregir el problema.

Resumen

La Calculadora de Divergencia simplifica el proceso de análisis de campos vectoriales al automatizar el cálculo de la divergencia y proporcionar una representación visual clara. Ya seas estudiante, profesor o profesional, esta herramienta es perfecta para obtener información sobre el comportamiento de los campos vectoriales en el espacio 3D. ¡Comienza a explorar ahora para desbloquear todo el potencial de esta poderosa calculadora!