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Calculadora de Derivada Direccional

Categoría: Cálculo
- 12 de mayo de 2025
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Calcule la derivada direccional de una función en un punto en la dirección de un vector dado. Ingrese una función multivariable y especifique el punto y el vector de dirección para calcular cómo cambia la función en esa dirección.

Entrada de Función

Punto y Dirección

Opciones de Visualización

Acerca de las Derivadas Direccionales

La derivada direccional representa la tasa de cambio de una función en una dirección específica. Generaliza el concepto de una derivada parcial, que solo mide el cambio a lo largo de los ejes de coordenadas.

Conceptos Clave
  • Gradiente (∇f): Un vector que contiene todas las derivadas parciales de la función, apuntando en la dirección de mayor ascenso.
  • Vector Unitario (û): Una versión normalizada del vector de dirección con magnitud 1.
  • Fórmula de Derivada Direccional: Duf(x,y) = ∇f(x,y) · û, donde · representa el producto punto.
  • Interpretación: Mide cuán rápidamente cambia la función al moverse desde un punto en la dirección especificada.
Aplicaciones
  • Optimización: Encontrar direcciones de mayor aumento/disminución.
  • Física: Calcular tasas de cambio en direcciones específicas (flujo de calor, campos eléctricos).
  • Gráficos por Computadora: Análisis y renderizado de superficies.
  • Aprendizaje Automático: Algoritmos de optimización basados en gradientes.

¿Qué es una Derivada Direccional?

La derivada direccional mide cómo cambia una función a medida que te mueves en una dirección específica desde un punto dado. Extiende el concepto de derivadas parciales al considerar una dirección vectorial en lugar de centrarse únicamente en variables individuales como x o y.

  • En términos simples, calcula la tasa de cambio de una función f(x, y, z) en un punto específico en una dirección específica.
  • Se denota matemáticamente como:

D_v f = ∇f ⋅ v̂

Aquí: - ∇f es el vector gradiente de la función, que contiene derivadas parciales con respecto a todas las variables. - v̂ es el vector de dirección normalizado (de longitud unidad).

  • El resultado de la derivada direccional es un solo número que nos indica si la función está aumentando, disminuyendo o es constante en la dirección dada.

Características Clave del Calculador de Derivadas Direccionales

  • Entrada Dinámica: Ingresa cualquier función multivariable, un punto de evaluación y un vector de dirección.
  • Explicación Paso a Paso: El calculador proporciona pasos detallados, mostrando cómo se calculan el gradiente y la derivada direccional.
  • Visualización Gráfica: Un gráfico muestra el comportamiento de la función a lo largo del vector de dirección.
  • Ejemplos Integrados: Prueba rápidamente la herramienta con ejemplos proporcionados para funciones comunes.

Cómo Usar el Calculador de Derivadas Direccionales

Campos de Entrada:

  1. Ingresa una Función: Especifica una función multivariable como x^2 + y^2 + z^2 o sin(x) * cos(y).
  2. Punto de Evaluación: Proporciona el punto donde se evaluará la derivada (por ejemplo, 1,1,1).
  3. Vector de Dirección: Ingresa el vector en el que se calculará la derivada (por ejemplo, 1,2,3).

Desplegable de Ejemplos:

  • Selecciona un ejemplo predefinido para completar automáticamente los campos:
  • f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 en (1, 1, 1) en dirección v = (1, 1, 1).
  • f(x, y) = sin(x) * cos(y) en (0, 0) en dirección v = (1, 1).
  • f(x, y) = e^(x + y) en (1, 2) en dirección v = (0, 1).

Botones:

  • Calcular: Realiza el cálculo y muestra resultados, pasos y un gráfico.
  • Limpiar: Restablece todos los campos de entrada y salidas.

Ejemplo Paso a Paso: f(x, y) = sin(x) * cos(y)

Entrada:

  • Función: sin(x) * cos(y)
  • Punto: (0, 0)
  • Vector de Dirección: (1, 1)

Cálculo:

  1. Calcular el vector gradiente:
  2. ∂f/∂x = cos(x) * cos(y)

  3. ∂f/∂y = -sin(x) * sin(y)

  4. Evaluar en (0, 0):

  5. ∂f/∂x(0, 0) = 1

  6. ∂f/∂y(0, 0) = 0

  7. Normalizar el vector de dirección (1, 1):

  8. Vector unitario: v̂ = (1/√2, 1/√2)

  9. Calcular la derivada direccional: D_v f = (1, 0) ⋅ (1/√2, 1/√2) = 1/√2

Resultado:

  • Derivada direccional: 1/√2

Visualización:

  • El gráfico muestra el comportamiento de la función a lo largo del vector de dirección desde el punto dado.

Beneficios de Usar el Calculador

  • Eficiencia: Automatiza la tediosa diferenciación manual y evaluaciones.
  • Claridad: Explica el proceso paso a paso, ideal para el aprendizaje o verificación.
  • Versatilidad: Maneja funciones con dos o tres variables y calcula derivadas en cualquier dirección.

Cuándo Usar un Calculador de Derivadas Direccionales

  • Matemáticas y Física: Analizar gradientes y tasas de cambio en funciones multivariables.
  • Aprendizaje Automático e IA: Evaluar el comportamiento de la función de costo a lo largo de direcciones de gradiente.
  • Ingeniería y Optimización: Evaluar cambios en funciones sujetas a restricciones o direcciones específicas.

Salida Gráfica

  • Se genera un gráfico para mostrar el comportamiento de la función a lo largo del vector de dirección.
  • El eje x representa t, la distancia a lo largo del vector de dirección.
  • El eje y representa f(t), el valor de la función a lo largo de esa distancia.