Calculadora de Series Infinitas

Categoría: Secuencias y Series
- 11 de septiembre de 2025
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Calcule la convergencia de series infinitas, sumas parciales y analice series matemáticas. Esta calculadora ayuda a estudiantes, matemáticos e ingenieros a entender el comportamiento de las series, pruebas de convergencia y aproximaciones para varias series infinitas.

Definición de la Serie

Use 'n' para la variable de índice (soporta +, -, *, /, ^, sin, cos, ln, exp)
n₀
p/r
Para p-series (p), series geométricas (r), etc.

Opciones de Análisis

términos
Para cálculos de suma parcial
dígitos

Opciones de Visualización

hasta
Rango para graficar sumas parciales

Ajustes Avanzados

ε
Umbral para la detección de convergencia

Teoría de Series Infinitas

Una serie infinita es la suma de infinitos términos. Entender el comportamiento de la convergencia es crucial para aplicaciones en cálculo, física, ingeniería y análisis matemático.

Tipos de Series
  • Serie Geométrica: ∑ar^n = a/(1-r) para |r| < 1
  • p-Serie: ∑1/n^p converge si p > 1, diverge si p ≤ 1
  • Serie Armónica: ∑1/n diverge (caso p = 1)
  • Serie Alternante: ∑(-1)^n·a_n con criterios de convergencia especiales
  • Serie de Potencias: ∑a_n(x-c)^n con radio de convergencia
  • Series de Taylor/Maclaurin: Representaciones de funciones como series de potencias
Pruebas de Convergencia
  • Prueba de Razón: lim|a_{n+1}/a_n| = L. Converge si L < 1, diverge si L > 1
  • Prueba de Raíz: lim|a_n|^{1/n} = L. Converge si L < 1, diverge si L > 1
  • Prueba Integral: Comparar con la integral impropia de la función correspondiente
  • Prueba de Comparación: Comparar con series conocidas convergentes/divergentes
  • Prueba de Comparación de Límites: Usar el límite de la razón con la serie de comparación
  • Prueba de Series Alternantes: Si los términos disminuyen y se acercan a 0, la serie converge
Valores Importantes de Series
  • Problema de Basel: ∑1/n² = π²/6 ≈ 1.6449
  • Función Zeta de Riemann: ζ(s) = ∑1/n^s para varios valores de s
  • Exponencial: e^x = ∑x^n/n! (converge para todos los x)
  • Serie Seno: sin(x) = ∑(-1)^n·x^{2n+1}/(2n+1)!
  • Serie Coseno: cos(x) = ∑(-1)^n·x^{2n}/(2n)!
  • Logaritmo Natural: ln(1+x) = ∑(-1)^{n+1}·x^n/n para |x| < 1
Aplicaciones
  • Análisis Numérico: Aproximación de funciones e integrales
  • Física: Funciones de onda, mecánica cuántica, mecánica estadística
  • Ingeniería: Procesamiento de señales, sistemas de control, análisis de Fourier
  • Economía: Cálculos de valor presente, modelos de crecimiento
  • Ciencias de la Computación: Análisis de algoritmos, funciones generadoras
  • Probabilidad: Funciones generadoras de momentos, funciones características
Comportamiento de Convergencia
  • Convergencia Absoluta: ∑|a_n| converge ⟹ ∑a_n converge
  • Convergencia Condicional: ∑a_n converge pero ∑|a_n| diverge
  • Convergencia Uniforme: Importante para operaciones término a término
  • Tasa de Convergencia: Qué tan rápido las sumas parciales se acercan al límite
  • Radio de Convergencia: Dominio donde la serie de potencias converge

Descargo de responsabilidad: Esta calculadora proporciona aproximaciones numéricas y análisis teóricos de series infinitas. Los resultados están sujetos a limitaciones de precisión computacional y pueden no reflejar valores matemáticos exactos. Para pruebas rigurosas y análisis detallados, consulte la literatura matemática y verifique los resultados de forma independiente. Algunas series pueden requerir técnicas avanzadas más allá del alcance de esta calculadora.